hvg.hu: „Mitől szép a matematika?” – címmel tart előadást hamarosan a budapesti CERME-konferencián. Ott mintegy ezer matektanítással foglalkozó szakember lesz, akik nyilván találtak már szépséget e tudományban, de el tudná magyarázni laikusoknak is, mi szép lehet a matematikában?

Lovász László: Nagyon sokan szeretnek sakkozni, rejtvényt fejteni. A logikus gondolkodás sok mindenben fontos, és sokak számára izgalmas. A matematika szépségének az egyik forrása: a logikája. Sajnos, az oktatás erre nem mindig mutat rá. Sokkal nagyobb erőfeszítést igényel ugyanis egy tanártól, hogy rávezesse a gyerekeket a matematika mögötti logikára, mint hogy azt mondja, tessék összeszorozni ennyi meg annyi számot. A túlterhelt tanároknak sokszor nincs idejük, energiájuk erre.

Ha egyszer lenne arra lehetőség, hogy az oktatás lényegével foglalkozzunk, távlati célokat jelöljünk meg, és ne csak politikai szinten változtassunk azon, akkor ebbe az irányba kellene elmozdulnunk. Időt kell hagyni az egyszerű számolások mögötti logika felfedeztetésére. A másik, ami a matematika szépségét vagy fontosságát adja az az, hogy egyre inkább minden mögött ott van. Mindenben benne van, ami a körülvesz minket, ott van az elektronikában, az informatikában, az internetben, de ugyanígy benne van mindenféle tudományos kutatásban, egyre fontosabb szerepet játszik még a társadalomtudományokban is. Ezek megértéséhez nem a matematikát kell tudni, hanem a matematikai gondolkodás lényegét kell valahogy megérteni.

Lovász László

Reviczky Zsolt

hvg.hu: Milyen az a matematikai gondolkodás? Hogyan lehet körülírni?

L. L.: Ahogy járni, vagy mondjuk pingpongozni is meg lehet tanulni, a matematikának is megvannak az alapjai, azok a standard gondolatmenetei, amiket meg kell tanulni. Mondok egy példát. Még akár egyetemi hallgatóknál is tapasztalom, hogy eleinte nehézséget okoz, ha meg kell különböztetniük úgy valaminek (mondjuk bizonyos kockadobásnak) a lehetséges eseteit, hogy ne maradjon ki semmi, de ne is legyen többször valamelyik eset. Ez egy matematikusnak nyilvánvaló, egy érettségizett fiatal is tudja elvileg, de neki nincs meg az a készsége, hogy kapásból megválaszolja.

Sok hasonlót mondhatnék. Gyakran közkedvelt fejtörőkben tűnnek fel az ilyenek, az olyan típusú feladatoknál, hogy találd ki, milyen színű sapka van a fejemen stb. Ezek is arra a fajta gondolkodásmódra épülnek, hogy ha ez van, akkor így, ha nem ez van, akkor úgy, ha még harmadik lehetőség is van, akkor amúgy. Egy ilyen gondolkodásmódot kell megtanulni. És ez fontos lehet, mondjuk a sakkban, de ahhoz is, hogy a mindennapi életben jól tájékozódjunk. A másik ilyen fontos gondolkodásforma a kvantitatív, tehát a mennyiségekről való gondolkodás. Még a járvány elején volt egy olyan hír, hogy valamelyik oltás következtében meghalt 20 millió emberből egy. Ettől sokan megijedtek, pedig Magyarországon a tízmillió emberből minden nap meghal autóbalesetben egy ember, mégis beülünk a kocsikba. Tehát ezeket a számszerű dolgokat meg kellene tanulni összehasonlítani.

hvg.hu: Akik szeretik a matematikát, valóban azt szokták mondani, hogy nekik olyasmi ez, mint a rejtvényfejtés. Ha van egy ilyen erős motiváció, akkor miért nem érünk el több gyereket ezzel? Hol veszítjük el a gyerekeket?

L. L.: Az egyik probléma az, hogy van egy bizonyos tananyag, amit meg kell tanulni. Hogy valamilyen gondolatmenet megértéséhez mikor elég érett egy gyerek, az viszont nagyon változik. Ha túl korán találkoznak egy bizonyos problémával, akkor nem értik, ha túl későn, akkor unják. De van egy fél év vagy egy év, amikor lelkesek, mert úgy érzik, hogy most itt valami érdekes dolog történik, amit eddig nem tudtak. Ilyenkor van az úgynevezett „ahaélményük”, amikor valami, amit eddig nem értettek, valamilyen úton hirtelen világossá válik számukra.

Tulajdonképpen a matematikai felfedező munkának is ez a lényege: addig kell kutakodni, amíg meg nem találjuk ezt az élményt. Persze vannak olyan kérdések, amikre kétezer éve se sikerült megtalálni a megfelelő megoldást. A probléma az, hogy egy 30 fős osztályban a gyerekek egy része az épp tanult problémára még nem fogékony, másik része már nem fogékony. Ilyen nagy tömeget egyszerre tanítani nagyon nehéz. Úgyhogy marad az egyszerűbb megoldás: az, hogy betanulják, hogy kell szorozni, osztani, lineáris egyenletet átrendezni és begyakorolnak néhány más ilyen alapvető technikát, de közben elvész ez a megvilágosodási élmény. Pedig a matematika szépsége az, amit ezen az „ahaélményen” keresztül lehet meglátni.

hvg.hu: Mi lenne a megoldás? A kisebb tanulócsoport? A differenciált oktatás?

L. L.: Kisebb csoportra szükség volna minden tárgyból, nem csak matematikából. De hozzáteszem, nagyon izgalmas kísérletek zajlanak, hogyan lehetne erre a modern infokommunikációs technikákat használni. Ezek meg tudnak tanítani nagyon sok mindent a gyerekeknek, és akkor a tanár tényleg csak a legfontosabb részek megerősítésével foglalkozhatna, vagy azzal, hogy ellenőrizze, nem értenek-e valamit félre a gyerekek. Segítenie kellene csak, és nem neki kellene kiállni, elmondani a tananyagot, ami – valljuk be – tényleg unalmas tud lenni.

Reviczky Zsolt

hvg.hu: Mérő László egyszer azt fejtegette, hogy a színvaksághoz hasonlóan van matematika vakság is, vannak olyanok, akik egyszerűen soha nem fogják érteni a matematikát. Tényleg van ilyen?

L. L.: Mérő László nálam sokkal képzettebb pszichológus, ha ő azt mondja, hogy van ilyen, akkor elhihetjük neki. Az biztos, hogy ahogy a zenében, úgy a matematikában is van egy skálája annak, ki mennyire tud vagy akar elmélyülni benne. Más szinten zenél a koncertteremben fellépő művész, más, ha csak magának zenél valaki, megint más, ha csak az autóban bekapcsolja a rádiót, hogy legyen valami háttérzene. A matematikához is máshogy áll, aki kutatni akarja, mert ez izgatja, máshogy, aki alkalmazni akarja valamihez, mint egy eszközt.

hvg.hu: Azt mondják, hogy a zenei és a matematikai tehetség az, ami már nagyon fiatalon, gyerekkorban megmutatkozik, más területeken sokkal később derül ki valakiről, hogy tehetséges. Önben mikor tudatosult, hogy ezt a területet érdemes választania?

L. L.: Talán nem annyira korán derül ki a matematikai tehetség, mint a zenei, de azért az általános iskola során általában már igen. Nekem mindig mondták, hogy ügyesen számolok, de hetedikes-nyolcadikos koromban derült ki, hogy van közöm a matematikai gondolkodásmódhoz.

hvg.hu: A tanárai, szülei számára derült ez ki, vagy ön is érezte, hogy ezzel akar foglalkozni?

L. L.: Éreztem, hogy ez nekem nagyon tetszik. Eljártam matematika szakkörbe, és a szakkörvezető, aki akkor egyben az iskola igazgatója is volt, azt javasolta, hogy jelentkezzek a Fazekasba, ahol akkor indult egy matematika tagozatos osztály, az való nekem.

hvg.hu: Több egyetemen is tanított külföldön, és az ELTE-n is ad órákat. Van különbség, mondjuk az amerikai matematika szakos diákok és a magyarok között?

L. L.: Más Amerikában az oktatási rendszer. Nálunk korábban kezdik el a komolyabb matematika tanítását, gondoljunk például a Fazekas Gimnázium (ahová én is jártam) vagy más hasonló, matematika tagozatos osztályokat indító iskolákra. Az egyetemen pedig már biztosan rögtön az első évtől a komoly matematikára fókuszálnak. Én ezen lazítanék. Túlságosan ráfókuszál a képzés az adott szakirányokra a szélesebb látókör rovására.

Reviczky Zsolt

Amerikában ennek az ellenkezője történik. Ott a legtöbb diák, amikor egyetemre megy, még nem választ szakot, először általános, mindenki számára kötelező órákat, és néhány szabadon választható órát vesz föl. Az igazán komoly szakmai tanulás már a graduate school-ban történik, ami nálunk nagyjából a doktori iskolát és a mesterképzést jelenti együtt.

Én mindenesetre mindig úgy éreztem, hogy amit itthon megtanultam, az bőven elég volt, sőt több volt, mint amit a kortársaim kaptak. Fantasztikus képzést kaptam, kiváló emberektől. Akkoriban kicsit több ideje volt a kutatóknak, mert nem nagyon mehettek külföldre, tehát az idő nagy részében itthon voltak, nem kellett a pályázatok adminisztrációjával bajlódniuk (nem is voltak pályázatok), úgyhogy olyan kiváló matematikusoknak volt ideje foglalkozni középiskolásokkal, mint Erdős Pál, Gallai Tibor, Hajós György, Hajnal András és mások. Világhírű matematikusok.

hvg.hu: Kinek való a matematikus pálya? Az ember választja, hogy ő matematikus lesz, vagy a matematika választja az embert, hogy te tehetséges vagy, ide való vagy?

L. L.: Szerintem a matematika választja az embert. Akit a matematika füstje megcsapott, az mindenképpen azzal fog foglalkozni. Ráadásul a matematika egyre nyitottabb más tudományok felé. És egyre nagyobb az érdeklődés a fiatalokban az iránt, hogy ne csak a tiszta, elméleti matematikával foglalkozzanak, hanem értsék meg a különböző alkalmazásait is. Ez nagyon jó fejlemény.

hvg.hu: A matekot kedvelő gyerekek szülei azt el tudják képzelni, hogy mit csinál egy mérnök, talán azt is nagyjából, mit csinál egy informatikus, szívesen támogatják az ilyen pályaválasztásokat, de talán a matematikus szakma egy kicsit ködös számukra.

L. L.: Ha valaki jól tudja a matematikát, az nagyon sok mindent tud csinálni. Igen, lehet például mérnök, informatikus, ezek közel vannak, de sok matematika kell közgazdasági kutatásokhoz, statisztikai elemzésekhez és sok minden máshoz. A biológiát tartom én a matematika következő nagy vadászterületének, mert ott vannak olyan bonyolult struktúrák, amikhez még nem alkottuk meg a megértésükhöz szükséges eszközöket. Valahogy úgy, mint valaha, amikor a matematika megalkotta azokat az eszközöket, amikkel a bolygómozgásokat meg lehetett érteni. Ezek ma is működnek, gondoljunk csak bele, tele vagyunk a Föld körül keringő műholdakkal. Ezek mind a görögök által vizsgált kúpszeletek, ellipszisek tulajdonságain alapulnak. De egy élő szervezetet, vagy az erdőben élő állatok és növények egymásra való hatását nagyon nehéz leírni. Ez egyike lesz a közeljövő nagy matematikai kihívásainak.

hvg.hu: A mostani fő vadászterület viszont az informatika. Ha jól tudom, például az ön gráfelmélettel kapcsolatos kutatásai fontos szerepet kaptak az informatikai háttértudományokban.

L. L.: Az informatika berobbanása a 60-70-es években a matematika bizonyos ágait szinte teljesen beolvasztotta a saját háttértudományába. Kicsit hasonló módon, mint ahogy az mondjuk a 18. században a fizikával és a matematikával volt. Máig is nehéz megmondani, hogy mondjuk Euler vagy Bernoulli fizikus volt vagy matematikus, a két terület annyira együtt fejlődött. Az informatika és a gráfelmélet-diszkrét matematika között ehhez hasonló a viszony.

Reviczky Zsolt

hvg.hu: Ezt a viszonyt hogyan tudná elmagyarázni laikusoknak, akik nagyjából annyit tudnak, hogy az informatika a kettes számrendszeren alapul?

L. L.: A hálózat fogalma az, amit itt elő kell hívni. Ez ma már nem csak az informatikában, hanem nagyon sok más helyen is megjelenik, de talán legkorábban az informatikánál került elő. Az internet például egy nagy hálózat, vagy a chipek huzalozása is egy bonyolult hálózat. A hálózatnak pedig a matematikai fogalma a gráf.

hvg.hu: Visszatérve az oktatásra. Amikor akadémiai elnök volt, indított egy szakmódszertani kutatási programot, amiben matematikai projektek is voltak. Ezek mik voltak?

L. L.: Ezek azt vizsgálták, milyen eszközök, módszerek lennének alkalmazhatók a nagy hagyományú magyar matematikai tehetséggondozásból a szélesebb körre, az egész közoktatásra. Hozzá kell tenni, hogy egy ilyen szakmódszertani, vagy pedagógiai kutatás az nem egy év, és nem öt év, az évtizedekbe telik.

hvg.hu: Ezért is nem hallgatja meg soha a tudósokat a politika? Az a terület inkább a négyéves választási ciklusban gondolkodik, nem hosszú távra tervez. Ezért véreztek el az oktatási átalakítást szorgalmazó MTA-kezdeményezések?

L. L.: Ez, sajnos így van. Ott volt például az a nagyszabású tananyagfejlesztés, amit Csépe Valéria vezetésével dolgoztak ki, és ami mostanra valami fiók mélyén landolt. Egyébként a tantervfejlesztés nem egy egyszeri, hanem egy folyamatos feladat lenne. Állandóan változik, hogy mit kell tudni, bővül az ismeretanyag, szélesedik a világnak az a része, amire szeretnénk rálátni. Nem lehet egyszer s mindenkorra eldönteni, hogy na, akkor most ezt kell tanítani.

hvg.hu: A matematika olyan szempontból szerencsés, hogy ideológiát nehéz belelátni, nem úgy, mint a magyar vagy a történelem tárgyakba, így a politika kevéssé szól bele a tananyagába. Másrészt a matek az, amit a legtöbb diák utál, és a legrosszabb eredményeket produkálja mindig, mondjuk az érettségin. Csapodi Csaba azt az ötletet vetette fel, hogy a matematika tanterv összeállításába be kellene vonni nem matematikusokat, nem matektanárokat is, hogy megjelenjen a laikusabb szemlélet a tantervben. Ön egyetértene ezzel?

L. L.: Több oldalról ragadhat meg egy fiatalt a matematika, és el kellene érni, hogy legalább az egyik oldalról meg is ragadja. Ezek közül az egyik az a bizonyos szépség, amiről beszéltünk, ami miatt szeretünk sakkozni, rejtvényt fejteni, vagy sudokut megoldani. A másik az lehet, hogy megmutatjuk a matematika gyakorlati alkalmazási területeit. Ehhez jó példákat kellene kidolgozni, sokat. Fontos lenne az is, hogy érdekes feladatokat kapjon. Van egy nagyon jó, konkrét példám erre, amit harmadikos-negyedikes gyerekeknek is fel lehet adni. Vegyünk egy pozitív egész számot, és ha ez páros, akkor osszuk el 2-vel, ha páratlan, akkor szorozzuk meg 3-mal és adjunk hozzá 1-gyet. Kijön egy újabb szám, azzal ismételjük meg ezt. A tapasztalat az, hogy előbb-utóbb mindig visszajutunk az egyeshez. Bárhonnan indulunk, mindig eljutunk az egyhez. De ez csak egy tapasztalat, nincs bizonyítva, hogy bármely számra igaz. Ez egy megoldatlan matematikai probléma. Ha azt mondom egy gyereknek, hogy mutasson egy olyan számot, amikor nem jutunk el az egyhez, és ha talál egyetlen ilyet, akkor kap valamit, akkor nekiesnek a problémának. Próbálgatják. És közben szoroznak osztanak, ezeket jól begyakorolják. Nem fognak találni olyan számot, amire ez nem igaz, mert számítógépekkel sem találtak, de az alapműveleteket begyakorolják.

Reviczky Zsolt

hvg.hu: Mostanában mindenki a mesterséges intelligenciáról beszél, hogy az oktatásban például nagyon nagy szerepe lehet. Ön szerint például a matematikában vagy annak megszerettetésében lehet szerepe?

L. L.: Ez egy jó kérdés, erre nem tudok válaszolni. Valószínűleg a mai állapotban még nem, de nem tudom, hogy meddig tud eljutni. Azt is el tudom képzelni, hogy az egész matematikai kutatást átalakítja majd. Az ugyanis nagyrészben az múlik, hogy analógiákat találunk látszólag különböző fogalmak között, megnézzük, hogy miért működik, miért nem működik, ahol nem működik, próbálunk egy kicsit tovább lépni. Tehát egy ilyen asszociációs játékhoz hasonlít. Ezt könnyen lehet, hogy egy mesterséges intelligencia sokkal jobban fogja tudni csinálni.

hvg.hu: De sosem lesz kíváncsi az MI.

L. L.: Egyelőre nem, de nem tudom, hogy a jövőben mi lesz. De kétségtelen, hogy a mesterséges intelligencia óriási kihívást fog jelenteni. Valószínű, hogy ha a mesterséges intelligenciának feladjuk, hogy írjon egy iskolai dolgozatot, mondjuk a törökök hódításairól, akkor jobb dolgozatot fog írni, mint bármelyik gyerek. Ez önmagában nagy kihívás elé állítja az oktatást, főleg a számonkérést. Honnan tudjuk innentől, hogy nem a mesterséges intelligencia írta-e azt a házi dolgozatot? Amit meg tud csinálni az MI, arra viszont fölösleges a gyerekeket megtanítani. Arról van szó, hogy van egy külső memóriánk (az internet), és van egy belső memóriánk (ami itt van a fejünkben). A kettő közti interfészt kell valahogy megállapítani, az hogyan működjön. Viszont állandóan változik, főleg a külső tár. De éppen ezért, úgy gondolom, hogy az oktatássál muszáj foglalkozni nagyon komolyan. Ezért keserít el az oktatással kapcsolatos, politikai ízű huzavona. Előbb-utóbb el kell jutnia oda az országnak, hogy az oktatással foglalkozni kell, és abba bele kell fektetni a pénzt, paripát, fegyvert.