hvg.hu: Néhány hete egy kollégájával beszélgettünk arról, hogy miért egy állandó „mumustárgy” a matematika. Ön azzal foglalkozik, hogy hogyan lehet megszerettetni, élvezetesebbé tenni. Van erre csodarecept?

Juhász Péter: Először is: jobban meg kellene mutatni, mi az a matematika. Ma ugyanis, amit az iskolában tanulunk, az csak kapargatja a felszínét a szerethető matematikának. Megtanulunk különböző algoritmusokat, amelyeket aztán alkalmazunk. Vagy értjük, vagy nem értjük. Megtanuljuk, hogyan kell a másodfokú egyenletet megoldani, de pontosan nem értjük, miért működik, és azt se, hogy mi szükségünk is van rá. Az érettségizett emberek túlnyomó többségének ráadásul soha nem is jön szembe az életében olyan probléma, amelyben meg kellene oldania egy másodfokú egyenletet. Ma többnyire az a cél az iskolában, hogy megtanuljuk megoldani, ahelyett, hogy ez egy eszköz lenne az értelmes gondolkozáshoz. Ehhez persze meg is kellene érteni, az kevés, hogy bemagoljuk. A mai iskola nagyon kevés teret ad annak, hogy megmutassa a matematika örömét. A tanár elmondja, hogy a diáknak mit kell csinálni, ő azt megcsinálja, de egyáltalán nem érzi magáénak a problémát. Nem jut idő arra, hogy ő maga süsse ki, hogyan kell megoldania a feladatot, pedig ez esetben sokkal lelkesebb lenne. Sokszor tapasztaljuk, hogy amire a gyerek saját maga jön rá, az sokkal inkább a sajátja, mint amit elmondtak neki.

hvg.hu Általában is mondják a mai iskolára, hogy ott a gyerekek csupa számukra érdektelen, irreveláns dolgot tanulnak. A matematika sokaknak már régen is ilyen tárgy volt.

J. P.: Igen, miközben a világunk viszont tele van olyan dolgokkal, amihez kifejezetten komoly matematika kell. Ahhoz, hogy ezek ne legyenek misztikus dolgok, jó lenne, ha az alapokat tudnánk.

hvg.hu: Például?

J. P.: Tanulunk például oszthatósági szabályokat, de a diák azt kérdezi, hogy miért fontos neki, hogy egy számról hogyan tudom eldönteni, hogy osztható-e 9-cel? Közben naponta fizetünk bankkártyával, amely mögött komoly számelméleti eredmények vannak, és a számelméletet érdemes az oszthatósággal kezdeni. Nagyobb bizalma lenne az embereknek a bankkártyás fizetésben, ha a számelmélet alapjait értenék, és tudnák azt, hogy ilyen jellegű, de magasabb szintű tudás garantálja ennek a biztonságát.

Reviczky Zsolt

hvg.hu: És hogy lehet ezt elérni? Nyilván az iskolának lenne ebben komoly szerepe.

J. P.: Például úgy, ha olyan típusú feladatokat adnánk a gyerekeknek, amelyek érdeklik őket, amelyeken szívesen gondokodnak. Az, hogy van egy egyenlet, oldjuk meg, ez nem épp egy vonzó feladat. De ha például azt mondjuk, hogy képzelje el, hogy ő egy közlekedési miniszter, és szervezze meg az ország közlekedését ilyen és ilyen feltételek mellett, akkor az már izgalmasabb kérdés lehet. Vagy hogy válassza ki adott tárgyak közül egy műszerrel, melyik kettő a radioaktív, de minél kevesebb méréssel, akkor ez, a tapasztalataink szerint többnyire vonzó a diákok számára. Ezzel már el lehet játszani. Nagyon sok olyan matematikai játék van egyébként, amivel meg lehet tanulni sok mindent, és a gyerekek nagyon szívesen is foglalkoznak ezekkel. A másik, ami nagyon fontos lenne, az

a tévedés szabadsága.

A magyar iskola arra kíváncsi, mit nem tud a gyerek, mikor mond butaságot, és nem arra, hogy mit tud. Ha egy olyan közeget teremt a tanár, amiben azt érzi a diák, hogy „mivel nem ismerjük ennek a problémának a megoldását, hát persze, hogy gondolhatok először rosszat, és majd utána gondolkozom tovább”, akkor sokkal bátrabban gondolkoznak a gyerekek, és még jól is érzik magukat. Nincs az a stressz, hogy ha rosszat mondok, akkor rögtön jön valaki, és jól ledorongol, hogy „fiam, hát még ezt se tudod?”. Egy idő után persze már tudniuk kell a gyerekeknek bizonyos dolgokat, mert különben nem lehet tovább haladni. De az elején lehessen tévedni! Ehhez időre van szükség és nyugodt körülményekre. Jó lenne, ha ki tudnánk küszöbölni a versenyhelyzetet is, hogy ne mindig Sanyi mondja meg a megoldást, mert ő a leggyorsabb. A sebesség itt ugyanis nem is számít. Az igazi matematikában, a tudományos életben is nagyon kevésszer számít, hogy valaki három vagy tíz perc alatt old meg valamit. Van több komoly matematikus, aki abszolút lassú. Szerintem néhány világhírű tudós be sem kerülne egy nyolcadikos matekversenyen az első 50-be se, mert ott van 30 feladat, és nekik nem lenne idejük mindre. Szerintem nagyon hiányzik egyébként a mai gyerekek életéből, hogy valamin hosszasan dolgozzanak, gondolkodjanak.

Juhász Péter matematika tanár

Reviczky Zsolt

hvg.hu: Mi az a gondolkodásmód, amit a matematika ad olyanoknak, akik nem azzal foglalkoznak?

J. P.: A racionális, megalapozott gondolkodás. Hogy észérvek alapján döntsék el, mondjuk, hogy a családi nyaralásra hova mennek. Hallgassák meg a gyerekeiket, férjüket, feleségüket, és legyen érvelés. Ne az legyen, hogy valaki az asztalra csap, és azt mondja, hogy Korzikára megyünk. A matek abban segíthet, hogy kialakuljon ennek a kultúrája. Ott ez szélsőséges módon működik, mert ott tisztán fekete-fehér igazságok vannak, de ebből egy csomó minden átvihető a nem fekete-fehér életre is, hogy azért mégis csak megpróbálunk érvekkel meggyőzni embereket. Persze, az élet nem mindig racionális, de azért sok helyzetben segíthet egy ilyen gondolkodásmód.

hvg.hu: A napokban adott elő az MTA-n egy stanfordi sztárközgazdász, aki azt mondta, hogy az emberek fizetésén is meglátszik, hogy jól voltak-e matekból vagy sem, az előbbiek többet keresnek. Mi lehet ennek az oka?

J. P.: Ennek valószínűleg köze van az előbb tárgyalt gondolkodásmódhoz. Sok helyen hasznos, hogy valaki kitartóan és elemző jellegűen tud gondolkozni. De nyilván az is közre játszhat, hogy a világ egyre inkább elment a digitália felé, aminek nagyon erős matematikai alapjai vannak. Háromszáz éve a matematika egyfajta hobbi volt, ezred annyi ember élt meg abból, hogy ért a matematikához, mint ma, és azokat is inkább valami furcsa zseniknek tartották. De olyanokon gondolkoztak, amiknek ma nagyon sok hasznát vesszük. Háromszáz éve Fermat azzal foglalkozott, hogy milyen számok lehetnek prímek. Mindenki nézett rá, hogy jó, jó, de ki fogja megkapálni a kukoricát? Ma pedig nagy hasznát vesszük annak, amin többek között ő is dolgozott.

hvg.hu: És tényleg: mire tudjuk használni azt, amin Fermat dolgozott?

J. P.: A nagy prímszámok ma többek között a titkosított kommunikációban játszanak fontos szerepet, a bankkártyánkat védik vagy a biztonságos internetezést segítik. Ha a kvantumszámítógépek kora jön el, vélhetően már ez sem lesz elég, de akkor pedig úgy tűnik, hogy a rácsgeometria fog segíteni a biztonságban. Sokszor derült már ki, hogy ami egy ideig csak a matematikus értelmetlen passziójának tűnt, annak komoly gyakorlati haszna lett.

hvg.hu: Erre még mindig mondhatják az emberek, hogy majd pár őrült matematikus megoldja, mi dolgom nekem ezzel az egésszel?

J. P.: Fontos a bizalom kialakulásában, hogy higgyünk ezekben a rendszerekben, és ez akkor megy, ha van valamilyen alap matematikai műveltségünk. Nem feltétlen arra van szükség, hogy konkrétan tudjuk a koszinusztételt, vagy, hogyan kell közös nevezőre hozni a törteket. De jó, ha tisztában vagyok azzal, hogy meg tudok érteni dolgokat, ha akarok, mert középiskolában vagy felső tagozaton foglalkoztam ilyenekkel. Az emberek nagy része a genetikát sem érti olyan mélységben, hogy világos legyen számára a géntechnológia. De az mégsem szerencsés, ha olyan képviselők szavaznak a génmódosított élelmiszerekről, akik nem tudják, hogy mi az a DNS. Ezért érdemes genetikát tanulni az iskolában, mert akkor ezek a dolgok nem lesznek misztikusak, és nem az alapján formál az ember véleményt, hogy ki kiabálja az álláspontját hangosabban.

hvg.hu: Visszatérve az idő tényezőre. Az iskolában negyvenöt perces órák vannak, továbbá van egy tanterv, ami leírja, mit kell megtanítani a gyerekeknek az adott óraszámban. Mindez nemigen kedvez az elmélyült gondolkodásnak.

J. P.: Volt egy négyéves kísérletünk a Szent István Gimnáziumban, nem matek tagozatos osztályban. Többek között megnéztük, mi történik, ha az az első két évet arra szánjuk, hogy ezt a gondolkodási kultúrát kialakítsuk. Azaz hagytunk időt elgondolkozni dolgokon. Így a 10. osztály végére ott tartottunk, ahol 10. első félévben lettünk volna normál esetben, tehát volt egy háromnegyed éves lemaradásunk, de cserében megvolt valamelyest a diákok „matematikus hozzáállása”. És kiderült: simán ledolgozzuk a látszólagos hátrányt. A logaritmus mindenkinek rémálom szokott lenni, de mivel mi szántunk időt arra, hogy megértettük a hatványozást rendesen, így a logaritmusról is kiderült, hogy az egy nem annyira komplikált dolog, semmi extra nincs benne. Én nagyon szívesen „térítek” tanárokat az ügyben, hogy próbálják ezt ki, hogy szánjanak arra időt az elején, hogy a gyerekek gondolkozhassanak. Ne feltétlenül két évig tartson ez az alapozó szakasz, de mondjuk 9. első félévben nem lehet annyit veszteni, amit három és fél év alatt ne lehetne bepótolni. Az a hozzáállás, hogy itt valami jó dolog történik matematikaórán, az óriási nyereség. Ha jó a hangulat egy matematikaórán, akkor valahogy közelebb érzik magukhoz a diákok az ott tanultakat. Az valóban igaz, hogy mindez nem olyan egyszerű a tanterv szempontjából. Van egy másik ilyen „térítési területem” is: ne úgy tanítsuk a matekot, hogy van 30 óra geometria, aztán 30 óra algebra, aztán 25 számelmélet, hanem tanítsuk párhuzamosan ezeket a területeket. Így növelhetjük a kreativitást, hogy épp most mihez is kell nyúlni az adott feladatban, másrészt izgalmasabb is lesz a dolog a diákok számára. Nem mellesleg pedig több idő jut a fogalmak elsajátítására, mert abban nem csak a tényleges iskolai órák számítanak, hanem az eltelt abszolút idő is.

Képünk illusztráció

Horváth Szabolcs

hvg.hu: Magyarországon van egy olyan képünk, hogy matematikából nagyon jók vagyunk. Ez így van? Vagy csak az elit szintjén igaz ez?

J. P.: Ha csak az „élsportot” nézzük, akkor ugyan 20-30 évvel ezelőtt még sokkal jobban szerepeltünk a matematikai diákolimpián, mint mostanában, de lakosságarányosan most sincs szégyenkezni valónk. És vannak a speciális matematika tagozatok is az országban, ami azért nem sok pontján van a világnak. Én imádom a tehetséggondozást, de a lényeg mégis az lenne, hogy a normál iskolai matematikaoktatás által az emberek alapszintű matematikai jártassága megfelelő legyen. Sajnos ebben egyre jobban lemaradunk.

hvg.hu: Vekerdy Tamás mondta, azt hiszem, hogy a zenei tehetség mellett a matematikai tehetség az, ami nagyon korán megmutatkozik. Ön is így látja?

J. P.: Az lehet, hogy a matematikai tehetség korán eldől, de abban szerintem nincs igaza, hogy ez feltétlenül korán látszik is. Van, akinél tényleg nagyon korán látható, de van akinél egyetemen, esetleg még később derül ki. És nem egyszer előfordul, hogy úgy tűnik az általános iskolában, hogy valaki tehetséges, de aztán a mélyebb matematikai problémáknál már nem mutatkozik ez meg.

hvg.hu: A nagyon tehetséges matekosok még mindig csodabogárnak számítanak egy-egy gimiben?

J. P.: Azt mondanám, hogy akiket nagyon elkapott a matematika, azok között nagyobb valószínűséggel van csodabogár. Tehát pozitív a korreláció, igen. De vannak nagyon nem csodabogár matematikusok is. Vannak azok, akik tényleg ilyen „görbe hátú, nyolcdioptriás szemüvegesek, akik el se tudnak kapni egy kosárlabdát”, és vannak, akik baromi jól fociznak, alternatív zenekarban játszanak vagy kiváló barlangászok.

hvg.hu: Március 14-én ünnepeljük a 𝛑 (Pí) világnapját. Mikor találkozik egy gyerek először ezzel a számmal?

J. P.: A kör területét és kerületét már általános iskolában megtanulják a gyerekek, és az egy elég érdekes dolog. Az, hogy a kör kerületének és a sugarának viszonya ugyanaz, bármekkora körről is van szó, még hagyján, de hogy az ebben meghatározó szereplő szám, a 𝛑, egy irracionális szám, az már egy nehéz dolog. Maga az irracionális szám fogalma sem egyszerű. Nem véletlen, hogy azt csak a XIX. században sikerült bebizonyítani, hogy a 𝛑 irracionális. Az pedig egészen fantasztikus, hogy mennyi helyen előkerül a 𝛑, ahol nem gondolná az ember. Az rendben van, hogy van ez a geometriai fogalom, de a számelméletben, az algebrában, az analízisben, a valószínűségszámításban is előkerül. Azt érzi az ember, hogy ez valami központi jelentőségű szám. Szimbólum lett a 𝛑. Vannak a 𝛑-versek, amikor a szavak annyi karakterből állnak, amennyi a 𝛑 aktuális tizedesjegye. Megszólaltatható zeneileg is: szörnyű a fülnek, de ez talán jól kifejezi az irracionalitást. Ha zeneértő veszi kézbe, akkor ez is élvezhető: